2019-03-01
數(shù)學的證明依靠嚴密的邏輯推理，一經(jīng)證明就永遠正確，所以，數(shù)學證明是絕對的。相對而言，科學的證明則依賴于觀察、實驗數(shù)據(jù)和理解力，科學理論的證明難以達到數(shù)學定理證明所具有的絕對程度，只能提出近似于真理的概念。因此，在思維嚴密的數(shù)學家眼里，物理學、化學、生物學、天文學等自然科學都是經(jīng)驗科學。林家翹先生說，應用數(shù)學家要將數(shù)學的嚴密和精確引入經(jīng)驗學科，將這些學科中的實驗問題歸結(jié)或表示為能夠用運算手段處理的數(shù)學問題，從而促進經(jīng)驗科學的發(fā)展。
過去的經(jīng)驗告訴我們，所有的科學問題在本質(zhì)上都是簡單而有序的。物理學所有的定理都可以用數(shù)學公式在一張紙上表示出來，而與此同時，人類的智慧又堅持用簡單的概念闡明科學的基本問題，這樣做數(shù)學就是一個基本的方法。
近代應用數(shù)學發(fā)端于英國，牛頓是應用數(shù)學的鼻祖。為了解釋觀察到的大量天體運行的資料，解釋天體運行的基本規(guī)律(開普勒三大定律)，牛頓建立起天體運行的數(shù)學模型，提出了劃時代的三大力學定律和萬有引力定律。但是，力學定律的內(nèi)涵超越了那個時代傳統(tǒng)數(shù)學的范圍，牛頓不得不開拓新的領(lǐng)域，發(fā)明了微積分，然后再用微積分、力學定律和萬有引力，求得了行星運行的規(guī)律。在19世紀末的英國，所有的理論物理被稱為應用數(shù)學。我在加州理工學院的博士導師馮.卡門也是一位應用數(shù)學的實踐者和倡導者，他堅信自然界具有數(shù)學的本質(zhì)，并用他畢生的經(jīng)歷從那些光憑經(jīng)驗無法澄清的混沌領(lǐng)域中尋求數(shù)學解答。馮.卡門的導師是德國哥丁根大學應用物理系主任、有"空氣動力學之父"稱號的普朗特爾教授，他最大的貢獻是闡明了飛機為什么會飛。他的一個科學準則是"概括法"，即從一個復雜的物理過程中(無論是機器運行還是河水流動)概括出關(guān)鍵的物理因素，然后再用數(shù)學進行分析。
馮.諾依曼是20世紀最偉大的純粹數(shù)學家和應用數(shù)學家，在他發(fā)表的150篇論文中，60篇研究的是純粹數(shù)學，60篇研究的是應用數(shù)學，包括統(tǒng)計學和博弈論，那篇著名的會客室博弈論文就是他在20歲那年完成的。他和莫根施特恩合作的《博弈論與經(jīng)濟行為》在1944年出版，在這部著作中他們將數(shù)學科學的邏輯語言，尤其是集合論與組合數(shù)學方法，應用到社會理論的改革過程中，將經(jīng)濟學置于嚴謹?shù)臄?shù)學基礎上。評論員赫維茨認為"只要再有10部這樣的著作，經(jīng)濟學的未來就有保障了"。學生們將這本書稱為"那部《圣經(jīng)》"。馮.諾依曼勇敢無畏地走出數(shù)學領(lǐng)域，他應用相似的方法解決不同的問題的成功經(jīng)歷，激勵著年輕的天才競相仿效，約翰.福布斯.納什就是其中一位。納什證明的均衡定理推廣了馮.諾依曼定理，成功地打開了將博弈論應用到經(jīng)濟學、政治學、社會學及至進化生物學的大門。納什也因博弈論定理的證明獲得了1994年的諾貝爾經(jīng)濟學獎。這是應用數(shù)學發(fā)展經(jīng)濟科學的最新例證。
二次世界大戰(zhàn)極大地推動了應用數(shù)學的獨立發(fā)展，取得了蔚為壯觀的成就。這場戰(zhàn)爭引起了一系列科學和技術(shù)的競爭，并在戰(zhàn)后的年代里，在航空航天、通訊、控制、管理、設計和試驗等方面，讓人們感受到數(shù)學嶄新的力量。20世紀數(shù)學的成就，可歸入數(shù)學史上最深刻的成就之列，應用數(shù)學和計算機科學成為科學技術(shù)取得重大進步的重要因素，它奠定了現(xiàn)代科學和工業(yè)技術(shù)時代發(fā)展的基礎。